第10 章 行列式.ppt

第 10 章 行列式 知识点 • 行列式定义 • 行列式性质 • 行列式的计算 • 克莱姆法则 难点 • 行列式的性质 • 行列式的计算 要求 • 熟练掌握： 行列式的性质和计算 用代数余子式将行列式展开 利用克莱姆法则求解线性方程组 • 了解： n 阶行列式的定义 二阶、三阶 行列式的概念 10.1 二阶和三阶行列式 10.1.1 二阶行列式 用记号 表示代数和 这个记号称为二阶行列式 ,它是由 22各元素组成， 可用画线的方法记忆 ,既 其中 称为行列式的元素，第一 个下标 ，表示第 行，第二个下标 j表示第 j列， 就是表示行列式第 行第 j列相交处的那个元素。 例 用行列式法求解线性方程组 解 因为 所以 是原方程组的 解 10.1.2三阶行列式 类似地，三元一次方程组 （ 1） 的系数行列式为三阶行列式。 当系数行列式 时（ 1）式的解可以写成 其中 是将（ 1）式中的系数行列式 D的第一列、第二列、第三列分别换成常数项列 得到的三阶行列式。用记号 表示代数和 这个记号称为三阶行列式。 例 计算行列式 解 按对角线法有 = = 例 用行列式法求解线性方程组 解 所以 是原方程组的解。 10.2 行列式的性质及其计算 将行列式 D的行与相应的列互换到的新 行列式，称为 D的转置行列式，记为 。 即如果 ， 则 行列式具有如下性质： 性质 1 将行列式转置，行列式的值不变，即 。 性质 2 互换行列式中的任意两行（列），行 列式仅改变符号。 性质 3 如果行列式中有两行（列）的对应元 素相同，则此行列式的值为零。 性质 4 如果行列式有一行元素全为零，则这 个行列式的值等于零。 性质 5 把行列式的某一行（列）的每各元素同 乘的数 k， 等于以数 k乘该行列式。 即 推论 1 如果行列式某行（列）的所有元素有公因子 ，则公因子可以提到行列式外面。 推论 2 如果行列式有两行（列）的对应元素成比例 ，则行列式的值等于零。 性质 6 如果行列式中的某一行（列）所有元素都是 两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和， 而且这两个行列式除了这一行（列）以外，其余 的元素与原来行列式的对应元素相同。 性质 7 将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数 k 后，加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式 的值不变。 例 计算行列式 解 因为第 1列与第 2列对应元素成比例，根据性质 3的 推论 2可知 10.3行列式的展开 例如 三阶行列式 D= 中元素 的代数余子式是 而 的代数余子式是 定理 1 三阶行列式 D= 的值等于它任意一行 （列）的所有元素与它们对应的代数余子式乘积之 和。 例 将行列式 分别按第 1行，第 3列展开。 解 按第 1行展开得 按第 3列展开得 推论 3 三阶行列式 D的某一行（列）的元素与另一 行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零， 即 （ ） （ ） 例 计算 解 = + = 10.4 n阶行列式 定义 1 由 个元素组成的记号 称为 n阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列。 它表示所有可能取自不同的行不同的列的 n个元素 乘积的代数和，其值定义为 （按第 i行展开， i＝ 1， 2， 3… ， n） （按第 j列展开 ， j＝ 1， 2， 3… ， n） 其中 是 的代数余子式，都是 n － 1阶行列式 。 例 其中 这种行列式称为对角形行列式 其中 这种行列式称上三角形行列式 其中 这种行列式称为下三角形行列式 三角形行列式及对角行行列式的值均等于主对角线 上元素的乘积。 由行列式定义还可以推出，一个行列式若有一行 （或一列）中的元素皆为零，则此行列式的值必为零。 例 证明 ＝ 证明 容易看出，左端行列式的特点是每列元素 和时 3a＋ b，即 = = = 例 计算 n阶行列式 解 按第 1列展开 得 = 10.5 克莱姆法则 含有 n个未知量的线性方程组 （ 1 ） 将线性方程组系数组成的行列式记为 D， 即 用常数项 代替 D中的第 j列，组成行 列式记 为 Dj即 定理 2（克莱姆法则）若线性方程组（ 1）的系 数行列式 则存在如下唯一解： 即 例 解线性方程组 解 计算行列式 ， ， 所以 是所给方程组的解。 如果方程组（ 1）的常数项全为零，即 （ 2） 方程组（ 2）称为齐次线性方程组，而方程组（ 1） 称为非齐次线性方程组。 推论 4 如果齐次线性方程组（ 2）的系数行列式 则它只有零解，即只有解 该推论也可以说成：如果齐次线性方程（ 2） 有非零解，则它的系数行列式 D＝ 0 。 例 判定齐次线性方程组 是否仅有零解。 解 因为 所以方程组仅有零解。 小 结 1） 二阶行列式和三阶行列式的概念，行列式的性 质，并利用其性质计算行列式。 2） 余子式和代数余子式的概念。行列式按行（或 列）展开定理，将阶数较高的行列式转化为阶数 较低的行列式，再求值。 3） 用行列式求解方程个数和未知量个数相等的线 性方程组的克莱姆法则和齐次线性方程组有非零 解的一个必要条件。