刚体滚动.ppt

刚体平面运动 X. Sun 1. 自由度 所谓自由度就是决定这个系统在空间的位置所 需要的独立坐标的数目。 考虑到刚体既有平动又有 转动，其独立坐标数由质心坐 标，转轴的方位角与刚体绕转 轴的转动角度决定 。 o x y z C(x,y,z) 首先确定质心位置。空间 任何一个点需要三个独立坐标 来确定位置，因此用三个坐标 如 C(x,y,z)来决定质心位置。 其次刚体的方位由其轴的取向决定，确定空间直 线的方位坐标有两个，借用纬度角与经度角来描述， 在直角坐标系中，采用用  、  ， 如图所示： o x y z   p  最后，刚体绕定轴转动时， 需要一个坐标来描述，选定参考 方向后，转动位置用 表示。 总的说来，刚体共有 6个自由 度，其中 3个平动自由度， 3个转 动自由度。 物体有几个自由度， 它的运动定律可归结为几 个独立的方程。 自由度 2. 刚体的平面平行运动 定义： 当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保 持一定的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平 面运动，这就叫刚体的平面平行运动。 根据平面运动的定义，刚体平面运动的自由度 有三个，两个坐标决定质心位置，一个坐标决定转 动角度。 刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相 对于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。 设质心在 Oxy平面内运动，则平动方程 可以证明，定轴转动定律在此仍适用 刚体的平面平行运动 车轮的纯滚动 车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系 则 刚体的平面平行运动 车轮上任意一点的速度 G点的速度 B点的速度 A点的速度 刚体的平面平行运动 刚体的动能 质心是基点 且 所以 刚体的动能等于质心的平动动能与对质心的转动 动能之和。 刚体的平面平行运动 例题 讨论一匀质实 心的圆柱体在斜面上 的运动。 N  aCx G=mg r x y O fr 解 圆柱体所受的力共有三个： 重力 G ， 斜面的支承力 N 和 摩擦力 f r， 如图所示。设圆柱体的质量为 m， 半径 为 r， 那么，它对其几何的转动惯量 刚体的平面平行运动 这样可得 以上三式中， aCx和 aCy是圆柱体质心在 x轴和 y轴方 向的加速度， 是圆柱体对其通过质心的几何轴转 动的角加速度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑 动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时 解上列五个式子，得 我们取和斜面平行而向下的方向为 x轴的方向，和 斜面垂直而向上为 y轴的方向 刚体的平面平行运动 代入上式得因 刚体的平面平行运动 如果这圆柱体从静止开始沿斜面滚下一段距离 x ， 与之相应，下降的竖直距离是 h=xsin， 这时质心 的速度由 求得 如果斜面是光滑的，对圆柱体没有摩擦力，即 fr=0， 则圆柱体沿斜面滑下的加速度是 刚体的平面平行运动 而圆柱体对质心的角加速度与角速度为 如果圆柱体从静止沿斜面下滑的距离也是 x， 则质心所获得的速度由 求得 在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中， 我们看到，两者加速度之比是 2/3，两者速度 之比是 刚体的平面平行运动 本题也可用机械能守恒定律讨论。圆柱体在斜面 上作纯粹滚动下落时，所受到的斜面的摩擦力和正压 力都不作功，满足机械能守恒的条件。圆柱体从静止 滚下，它没有初动能，只有重力势能 mgh， 当它滚动 下降这段高度时，全部动能是 对纯粹滚动而言， vc=r， 以此代入得 由机械能守恒定律得 刚体的平面平行运动 求得 代入上式得因 和以前的结果完全一致。 刚体的平面平行运动 例 一质量为 m、 半径为 R 的均质圆柱，在水平外力 作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与 圆柱中心轴线的垂直距离为 l， 如图所示。求质心的 加速度和圆柱所受的静摩擦力。 解：设静摩擦力 f的方向如图所示，则由质心运动 方程： 圆柱对质心的转动定律 纯滚动条件为 圆柱对质心的转动惯量为  FaC 联立以上四式，解得 刚体的平面平行运动 由此可见 l0, 静摩擦力向后 lR/2, f0, 静摩擦力向前 l=r/2, f=0 刚体的平面平行运动