现代控制工程题目及解答.doc

1.简述现代控制理论和经典控制理论的区别. 答：经典控制理论是以传递函数为基础的一种控制理论，控制系统的分析与设 计是建立在某种近似的和试探的基础上，控制对象一般是单输入单输出、线性 定常系统；对多输入多输出系统、时变系统、非线性系统等则无能为力。主要 的分析方法有频率特性分析法、根轨迹分析法、描述函数法、相平面法、波波 夫法等。控制策略仅限于反馈控制、PID 控制等。这种控制不能实现最优控制。 现代控制理论是建立在状态空间上的一种分析方法，它的数学模型主要是状 态方程，控制系统的分析与设计是精确的。控制对象可以是单输入单输出控制 系统也可以是多输入多输出控制系统，可以是线性定常控制系统也可以是非线 性时变控制系统，可以是连续控制系统也可以是离散和数字控制系统。主要的 控制策略有极点配置、状态反馈、输出反馈等。现代控制可以得到最优控制。 2.简述用经典控制理论方法分析与设计控制系统的方法,并说明每一种方法的主 要思想。 答：1：建立数学模型 2：写出传递函数 3：用时域分析和频域分析的方法来判 断系统的稳定性等。以及对其进行系统的校正和反馈。 频域响应法、根轨迹法 根轨迹法的主要思想为：通过使开环传函数等于-1 的 s 值必须满足系统的特征 方程来控制开环零点和极点的变化，使系统的响应满足系统的性能指标。 频域响应法的主要思想为：通过计算相位裕量、增益裕量、谐振峰值、增益交 界频率、谐振频率、带宽和静态误差常数来描述瞬态响应特性，首先调整开环 增益，以满足稳态精度的要求；然后画出开环系统的幅值曲线和相角曲线。如 果相位裕量和增益裕量提出的性能指标不能满足，则改变开环传递函数的适当 的校正装置便可以确定下来。最后还需要满足其他要求，则在彼此不产生矛盾 的条件下应力图满足这些要求。 3. 什么是传递函数？什么是状态方程 答：传递函数：在零起始条件下，线型定常系统输出象函数 X0（s）与输入象 函数 Xi（s）之比。 描述系统状态变量间或状态变量与输入变量间关系的一个一阶微分方程组（连 续系统）或一阶差分方程组（离散系统）称为状态方程。 4.什么是状态变量？ 答：构成控制系统状态的变量。 5. 如何从传递函数转换成状态方程？ 答：首先选定状态变量，然后把系统的 tf 转化的微分方程建立系统状态空间表 达式，写出输入、输出、状态变量之间的关系。具体如下： 传递函数为 Y（s）/U（s）=G(S) 状态方程为: =Ax+Bu y=Cx+Du .X 将传递函数和状态方程进行拉普拉斯变换为 sX(s)-x(0)=A X(s)+BU(s) Y(s)=CX(s)+DU(s),又因为传递函数为在零初始条件下定义的,故 sX(s)=A X(s)+BU(s) 即 G(S)=C(sI-A)-1B+D 这样就通过状态方程和传递函数联系了起来。 6 系统的状态空间表达式经非奇异线性变换后，系统有哪些特性保持不变？ 答：对系统进行线型非奇异变换并不会改变系统原有的性质如行列式相同、秩 相同、特征多项式相同、特征值相同，传递函数、可控性、可观性不变能对该 系统的时域行为表达同样的信息。 7.什么是可控性的概念？可控标准型的矩阵形式是什么？系统状态完全可控的 充要条件是什么？ 答：如果在一个有限的时间隔内施加一个无约束的控制向量，使得系统由 初始状态 x(to)转移到任一状态，则称该系统在时刻 to 是能控的。 如果系统是状态能控的，那么给定任一初始状态 x(0)，都应满足式 。这就要求 n×n 维矩阵 11010][)( nnnkkBAB ][1BAQn 的秩为 n。 由此分析，可将状态能控性的代数判据归纳为：当且仅当 n×n 维矩阵 Q 满秩， 即 rank][1 时，由式考虑线性连续时间系统 Σ： )()(tButAxt 其中， （单输入） ，且初始条件为 。11,,)(,)( nnn RRtutx )0()(xt 确定的系统才是状态能控的。 下列状态空间表达式为能控标准形： )3.1(0100102121121 uxxaaxx nnnn  ubxbby noonon 0211][  8.什么是可观测性的概念？写出可观测标准型矩阵形式。 答： CxyA 显然，如果系统是能观测的，那么在 0≤t≤t1 时间间隔内，给定输出 y(t)， 就可由式 唯一地确定出 x(0)。)0()()0()0()( 11 xCACAxtxtt nn 可以证明，这就要求 nm×n 维能观测性矩阵 1nCAR 的秩为 n。 由上述分析，我们可将能观测的充要条件表述为：由式考虑零输入时的 状态空间表达式 )14.3(xy 式中， 。nmnmn RCARyx,,, 所描述的线性定常系统，当且仅当 n×nm 维能观测性矩阵 ][1TnTT CA）（ 的秩为 n，即 时，该系统才是能观测的。rak 如果系统的状态 x(to)在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定，那么称系 统在时刻 to 是能观测的。 下列状态空间表达式为能观测标准形： )6.1(]10[ )5.1(10100212112 ubxxy ubaxaaxx o nononnn   注意，式（1.5）给出的状态方程中 n×n 维系统矩阵是式（1.3）所给出的相应矩 阵的转置。 9. 控制系统状态可观测条件是什么？ 答：系统能观测的充要条件为：（1） J 中没有两个 Jordan 块与同一AS1 特征值有关；（2）与每个 Jordan 块的第一行相对应的矩阵 CS 列中，没有一列 元素全为零；（3）与相异特征值对应的矩阵 CS 列中，没有一列包含的元素全 为零。 10.极点配置的主要思想是什么？极点配置的算法 1 的主要设计步骤。 答：首先假定期望闭环极点为 s =μ1，s =μ2,…，s =μn。我们将证明，如果被控 系统是状态能控的，则可通过选取一个合适的状态反馈增益矩阵 K，利用状态 反馈方法，使闭环系统的极点配置到任意的期望位置。 第 1 步：考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的，则可按下列 步骤继续。 第 2 步：利用系统矩阵 A 的特征多项式 nnassasII 11)det(  确定出 的值。na,21 第 3 步：确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵 P。若给定的状态 方程已是能控标准形，那么 P = I。此时无需再写出系统的能控标准形状态方程。 非奇异线性变换矩阵 P 可由 式给出，即式中 Q、 W 由QW (4.5)][1BABn (4.6)  0011321 aaWn 式中 为如下特征多项式的系数。ia nnassaAsI 11 定义。 第 4 步：利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为 nnn ssss 1121))  （（（ 并确定出 的值。na,21 第 5 步：此时的状态反馈增益矩阵 K 为 1121 ][  PaaKnn  11. 单输入-单输出系统能否通过输出反馈实现极点的任意配置？为什么？ 答：能。因为单输入单输出系统 r[B]=1,完全可控。 12.什么是爱克曼公式？ 答：对任一正整数 n，有 其中)(]][10[ 1ABABKn KaKaA~][)~() *122 2**2 为用于确定状态反馈增益矩阵 K 的爱克曼方程。 13.控制系统状态观测器的作用是什么？ 极点配置方法时，曾假设所有的状态变量均可有效地用于反馈。但在实际情 况中，并非所有的状态度变量都可用于反馈。这时需要估计不可量测的状态变 量。需特别强调，应避免将一个状态变量微分产生另一个状态变量，因为噪声 通常比控制信号变化更迅速，所以信号的微分总是减小了信噪比。有时一个纯 微分环节可使信噪比减小数倍。迄今已有多种无需使用微分来估计不能量测状 态的方法。对不能量测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量 的动态系统称为状态观测器，或简称观测器。 估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器，或简称观测器。 14. 什么是全阶状态观测器？全阶状态观测器的设计方法。 如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量，不管其是否能直接量测，这 种状态观测器均称为全维状态观测器。 15。什么是最小阶状态观测器？最小状态观测器的设计方法。 估计小于 n 个状态变量（n 为状态向量的维数）的观测器称为降维状态观测 器，或简称降价观测器。如果降维状态观测器的阶数是最小的，则称该观测器 为最小阶状态观测器或最小阶观测器。本节将讨论全维状态观测器和最小阶状 态观测器。 16.什么是调节器系统？什么是伺服系统？ 采用极点配置的状态反馈方法来设计控制器的系统为调节器系统。 在 给 定 的 初 始 条 件 e（ 0） 设 计 一 个 渐 近 稳 定 的 调 节 器 系 统 ， 使 得 e（ t） 趋 于 0 的 系 统 为 伺服系统 17. I 型伺服系统如何设计？零型伺服系统如何设计？ I 型闭环伺服系统的设计转化为：对于给定的任意初始条件 e(0),设计一个渐近稳定的 调节器系统，使得 e(t）趋于零。如果由 确定的系统是状态完全能控的，则BuAx 对矩阵 A-BK，通过指定的期望特征值 μ 1， μ 2，…, μ n，可由极点配置方法来确定线性反 馈增益矩阵 K。 x(t)和 u(t)的稳态值求法为：在稳态（ ）时，由式t 可得rBkxAB1) rkxK1)((0( 由于 A-BK 的期望特征值均在 s 的左半平面，所以矩阵 A-BK 的逆存在。从而， x( ) 可确定为 BAx1)() 同样， u( )可求得为0rku 如果被控系统中没有积分器（0 型被控系统） ，则设计 I 型闭环伺服系统的基本原则是 在误差比较器和系统间的前馈通道中插入一个积分器。 18 什么是系统的平衡状态？ 考虑如下非线性系统 (5.1)),(txf 式中 x 为 n 维状态向量， 是变量 x1,x2,…,xn 和 t 的 n 维向量函数。假设在),(txf 给定的初始条件下，式(5.1）有唯一解 。当 t =to 时， 。于是;0t0x 00),;(xt 在式(5.1）的系统中，总存在 , 对所有 t (5.2),txfe 则称 为系统的平衡状态或平衡点。ex 19. 什么是李雅普诺夫意义下的稳定？ 设系统 ，),(txf0),(tfe 之平衡状态 的 H 邻域为0exHe 其中， ， 为向量的 2 范数或欧几里德范数，即 2/121 ])()()[( neeee xxxx  类似地，也可以相应定义球域 S(）和 S(） 。 在 H 邻域内，若对于任意给定的 ，均有0 如果对应于每一个 S(） ，存在一个 S(） ，使得当 t 趋于无穷时，始于 S() 的轨迹不脱离 S(） ，则式 系统之平衡状态 称为在 Lyapunov 意),txf 0ex 义下是稳定的。 20，什么是渐进稳定和大范围渐进稳定？ 如果平衡状态 ，在 Lyapunov 意义下是稳定的，并且始于域 S(）的0ex 任一条轨迹，当时间 t 趋于无穷时，都不脱离 S(） ，且收敛于 ，则称式0ex (5.1）系统之平衡状态 为渐近稳定的，其中球域 S(）被称为平衡状态e 的吸引域。0ex 对所有的状态（状态空间中的所有点） ，如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近 稳定性，则平衡状态 称为大范围渐近稳定。或者说，如果式(5.1）系统之0ex 平衡状态 渐近稳定的吸引域为整个状态空间，则称此时系统的平衡状态ex 为大范围渐近稳定的。显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态0e 空间中只有一个平衡状态。 21。李雅普诺夫稳定性定理 1，定理 2，定理 3。 定理 5.1 (Lyapunov, 皮尔希德斯基，巴巴辛，克拉索夫斯基) 考虑如下非线性 系统 ),()(txft 式中 , 对所有0,f 0 如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数 ，且满足以下条件：),(txV 1、 正定；),(txV 2、 负定 则在原点处的平衡状态是（一致）渐近稳定的。 进一步地，若 ， ，则在原点处的平衡状态是大范围一致x),(txV 渐近稳定的。 定理 5.2 (克拉索夫斯基，巴巴辛) 考虑如下非线性系统 ),()(tft 式中 , 对所有0,f 0 若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数 ，且满足以下条件：Vxt(,) 1、 是正定的；Vxt(,) 2、 是负半定的； 3、 对于任意 和任意 ，在 时，不恒等于零，其],;[0tt0t00t 中的 表示在 时从 出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是),(0x 大范围渐近稳定的。 定理 5.3 (Lyapunov) 考虑如下非线性系统 ),()(txft 式中 , 对所有0,f 0 若存在一个纯量函数 ，具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件：)(txW 1、 在原点附近的某一邻域内是正定的；),(tx 2、 在同样的邻域内是正定的。 则原点处的平衡状态是不稳定的。 22.用李雅普诺夫第二法解决参数优化的主要思想方法是什么？ xA 式中，A 的所有特征值均具有负实部，即原点 是渐近稳定的（称矩阵 A 为0x 稳定矩阵） 。假设矩阵 A 包括一个（或几个）可调参数。要求下列性能指标 0QdtJH 达到极小，式中 Q 为正定（或正半定）Hermite 或实对称矩阵。因而该问题变 为确定几个可调参数值，使得性能指标达到极小。 假设 )(PxdtxHH 因此可得 xPAxPAxHHH )( 根据 Lyapunov 第二法可知，如果 A 是稳定矩阵，则对给定的 Q，必存在 一个 P，使得 Q 可由该方程确定 P 的各元素。 23、什么是黎卡提方程，如何推导利卡提方程？ 答案：黎卡提方程： 01BRAHH 主要推导步骤： ()xKxx0)(dtKQJH 取 )()(PxdtxRKQxHH 于是 ])([)( xBKABAPRKQxH  比较上式两端，并注意到方程对任意 x 均应成立，这就要求)()(BAPBAH 令 T 则 0()( TKQHH 上式也可写为 ])[][ 111  QPBRPTKHHH 求 J 对 K 的极小值，即求下式对 K 的极小值 xTBx HH()( 由于上面的表达式不为负值，所以只有当其为零，即当 H1)( 退化方程 01QPRAP 24 二次型最优化设计的步骤。 答案： 1、求解退化矩阵黎卡提式，以求出矩阵 P。如果存在正 定矩阵 P（某些系统可能没有正定矩阵 P） ，那么系统是稳定的，即矩 阵 是稳定矩阵。BK 2、将矩阵 P 代入式 ，求得的矩阵 K 就是最优矩BTKH1)( 阵。 25．已知系统传递函数 ，导出其状态空间方程的可控标2()65YsSUs 准型和可观测标准型。 能控标准形为： )(]16[)( )(10)(510)(2221txty tutxtx 能观测标准形为： )(]10[)( )(16522121txtytutt 26. 已知控制系统 ，写出其状态方程的对角标准型。66yyu 为对角标准 61)(23ssUY)3()(2613ss 其对角标准型为 uxxn  1302122321]6[xy 27. 已知受控系统的传递函数为 6412s （1）设计一个全维观测器重构状态，使观测器极点为-8 和-8。 （2）采用状态反馈，使闭环极点配置在-6 和-8 解： (1) 由传递函数知，系统能控且能观，因而存在状态反馈及状态观测器，可以 根据分离性原理进行分别设计。由传递函数，写出能观标准II型为 x 10yu 4-6  (2) 求全维观测器 令 G=[g1 g2]T 闭环特征多项式为212146046ggGCA 1221 64g)(det)CA(Idet)(f  与期望特征多项式 比较得 682)()(f* 258G 全维观测器方程为 uyxˆ bGAxˆ 01251640 (3) 求状态反馈阵 K。直接写出系统的能观标准 II 型实现为。 5.0134. 0135.04.,41,0 124123 01234,4, 令 K=[k1 k2],得闭环系统矩阵 416014622kkbKA闭环特征多项式为  )k()k(kdet)b(Idet)(f 61 21122 与期望特征多项式 48862)(f*比较得 K=[-10 -2]28. 判断下列二次函数的定号性： (a) 22131231Qxxx(b) 3(a) A= 因此（a）函数的符号不能确定 （b）B= -B = 所以-B 正定，因此 B 负定 29. 已知非线性控制系统 2121()xx22 试判断在原点处平衡的稳定性。 解：由系统平衡状态方程 -x1+x2+x1(x12+x22)=0 -x1-x2-x2(x12+x22)=0 解出唯一的平衡状态x e=0,即状态空间原点是其唯一平衡状态。 如果定义一个正定纯量函数 )(xV21)(V.xv 将系统状态方程代入上式并整理得： ))(1(2)221. xxxV 因此当 x12+x22-10 时, 在系统原点处的平衡状态是不稳定的 30 Try to find the Liapunov function of the following system, and determine its stability at the original point. 1 12 23xx 30. 试找出如下系统的李雅普诺夫函数，并确定其在原点处的稳定性。 [解] 不妨取 Lyapunov 函数为 PxVT)( 此时实对称矩阵 P 可由下式确定 IA 上式可写为  103213121221pp 将矩阵方程展开，可得联立方程组为 163242011p 从方程组中解出 、 、 ，可得1p28354721p 为了检验 P 的正定性，我们来校核各主子行列式 083547,0 显然，P 是正定的。因此，在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的，且 Lyapunov 函数为 )47()( 212xxPxVT 且 )21 31. 考察二阶线性定常系统 12axxA 利用 Lyapunov 方法证明此系统的原点平衡状态 为大范围渐近稳定的条件0ex 是 12det0,Aa 证明：系统的原点平衡状态 为大范围渐近稳定，等价于 。exTAPQ 取 ，令 ，则带入 ，得到QI12PTPQ121122000aa  若 ，则此方程组有唯一解。 121221121214()()0aa 即 21121212 ()()()AaaPAa    其中 detA 要求 正定，则要求 211 0()AaP 因此 ，且120adet0A22124