2020届一轮复习（文）人教A版 综合检测一.docx

综合检测一(标准卷) 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 两部分，共 4 页． 2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相 应位置上． 3．本次考试时间 120 分钟，满分 150 分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整． 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1．已知集合 M＝{2,3,4,5}，N＝{x|x 2－5x ＋40，|φ|0)的焦点为 F，已知点 A 和 B 分别为抛物线上的两个动点．且满足 ∠AFB＝ 120°，过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则 的最大值为( ) |MN||AB| A. B．1 C. D.3 233 33 答案 D 解析 如图所示，过 A，B 分别作准线的垂线 AQ，BP，垂足分别为 Q，P，设 |AF|＝a ，| BF|＝ b，由抛物线的定义，得|AF| ＝|AQ |，|BF| ＝ |BP|，在梯形 ABPQ 中， 2|MN|＝ |AQ|＋| BP|＝a＋b，由余弦定理得：|AB| 2＝a 2＋b 2－2abcos 120°＝a 2＋b 2＋ab，整理 得|AB| 2＝ (a＋b) 2－ab，因为 ab≤ 2，则(a＋b) 2－ab≥(a＋b) 2－ 2＝ (a＋b) 2，即( a＋ b2 ) (a＋ b2 ) 34 |AB|2≥ (a＋b) 2，所以 ≥ ＝ 3， 所 以 ≥ ， 即 ≤ ， 当 且 仅 当 a＝ b， 即 34 |AB|2|MN|2 34a＋ b2 14a＋ b2 |AB||MN| 3 |MN||AB| 33 |AF|＝ |BF|时 取 等 号 ， 故 选 D. 12．已知函数 f(x)＝ ，t∈R，若对任意的 x∈[1,2]，f(x)－x ·f′(x)恒成立，则实 ln x＋ x－ t2x 数 t 的取值范围是( ) A．(－∞， ) B.2 ( － ∞ ，32) C．(－∞，3) D.( － ∞ ，94) 答案 B 解析 ∵f′(x)＝ ， x2－ ln x＋ 1－ t2x2 ∴对任意的 x∈[1,2]，f′(x )·x＋f (x)＞0 恒成立⇔对任意的 x∈[1,2]， ＞0 恒成立 2x2－ 2tx＋ 1x ⇔ 对 任 意 的 x∈ [1,2]， 2x2－ 2tx＋ 1＞ 0 恒 成 立 ⇔ t＜ ＝ x＋ ＝ x＋ 恒 成 立 ， 令 g(x)＝ x＋ 2x2＋ 12x 12x 12x ， 12 x 又 g(x)＝x＋ 在 [1,2]上单调递增，∴g(x) min＝g(1)＝ ， 12 x 32 ∴t＜ . 32 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上) 13．已知向量 a＝(1， )，b＝(3 ，m )，且 b 在 a 上的投影为 3，则 a 与 b 的夹角为3 ________． 答案 π6 解析 ∵b 在 a 上的投影为 3，∴|b|cos〈a，b〉 ＝|b |· ＝ ＝3，m＝ ，cos〈a，b〉＝ ＝ ＝ ，∵0≤〈a，b〉 b·a|b|·|a| 3＋ 3m2 3 a·b|a|·|b| 62×23 32 ≤π ， ∴ 向量 a 与 b 的夹角为 . π6 14．定义在 R 上函数 f(x)＝Error!则不等式 f(x)1 时，f(x) ＝| x－3|－10)，若函数 f(x)在[1,2]上为单调函数，则 a 的取值范围 3xa 是____________． 答案 ∪ [1，＋∞)( 0，25] 解析 f′(x) ＝ －4x＋ ， 3a 1x 若函数 f(x)在[1,2] 上为单调函数， 即 f′(x )＝ －4x＋ ≥0 或 f′ (x)＝ －4x＋ ≤0 3a 1x 3a 1x 在[1,2]上恒成立， 即 ≥4x－ 或 ≤4x － 在[1,2]上恒成立． 3a 1x 3a 1x 令 h(x)＝4x－ ，则 h(x)在[1,2]上单调递增， 1x 所以 ≥h(2)或 ≤h(1) ， 3a 3a 即 ≥ 或 ≤3， 3a 152 3a 又 a＞0，所以 0＜a≤ 或 a≥1. 25 三、解答题(本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12 分) 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 b2＋c 2＝bc ＋a 2. (1)求角 A 的大小； (2)若等差数列{a n}的公差不为零，a 1cos A＝1，且 a2，a 4，a 8 成等比数列，求 的前{ 4anan＋ 1} n 项和 Sn. 解 (1)∵b 2＋c 2＝bc＋a 2， ∴cos A＝ ＝ ＝ ， b2＋ c2－ a22bc bc2bc 12 又 A∈(0，π)，∴A＝ . π3 (2)设{a n}的公差为 d，由已知得 a1＝ ＝2，且 a ＝a 2a8， 1cos A 24 ∴(2＋3d) 2＝(2＋d)(2 ＋7d)．又 d 不为零，∴d＝2， ∴a n＝2n， ∴ ＝ ＝ － ， 4anan＋ 1 1nn＋ 1 1n 1n＋ 1 ∴S n＝ ＋ ＋…＋( 1－ 12) (12－ 13) (1n－ 1n＋ 1) ＝1－ ＝ . 1n＋ 1 nn＋ 1 18．(12 分) 为选拔选手参加“全市高中数学竞赛” ，某中学举行了一次 “数学竞赛”活动， 为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n)进行统计．按照[50,60)，[60,70) ，[70,80)，[80,90)，[90,100] 的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60) ， [90,100]的数据)． (1)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x，y 的值； (2)在选取的样本中，从竞赛成绩在 80 分以上( 含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生参加“全 市高中数学竞赛” ，求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率． 解 (1)由题意可知，样本容量 n＝ ＝50， 80.016×10 y＝ ＝0.004，x ＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030. 250×10 (2)由题意可知，分数在[80,90)内的学生有 5 人，记这 5 人分别为 a1，a 2，a 3，a 4，a 5，分数 在[ 90,100]内 的 学 生 有 2 人 ， 记 这 2 人 分 别 为 b1， b2.抽 取 的 2 名 学 生 的 所 有 情 况 有 21 种 ， 分 别 为 ： (a1， a2)， (a1， a3)， (a1， a4)， (a1， a5)， (a1， b1)， (a1， b2)， (a2， a3)， (a2， a4)， (a2， a5)， (a2， b1)， (a2，b 2)， (a3， a4)， (a3， a5)， (a3， b1)， (a3， b2)， (a4， a5)， (a4， b1)， (a4， b2)， (a5， b1)， (a5， b2)， (b1， b2)． 其中 2 名同学的分数都不在[90,100]内的情况有 10 种，分别为： (a1， a2)， (a1， a3)， (a1， a4)， (a1， a5)， (a2， a3)， (a2， a4)， (a2， a5)， (a3， a4)， (a3， a5)， (a4， a5)． ∴所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率 P＝1－ ＝ . 1021 1121 19．(12 分) 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， AB＝2AD ＝2，PD＝BD＝ AD，且 PD⊥底面 ABCD.3 (1)证明：BC⊥平面 PBD； (2)若 Q 为 PC 的中点，求三棱锥 A－PBQ 的体积． (1)证明 ∵AD 2＋BD 2＝AB 2，∴AD⊥BD ， ∵AD∥BC，∴BC⊥BD. 又∵PD⊥底面 ABCD，∴PD⊥BC . ∵PD∩BD ＝D ，PD ，BD⊂平面 PBD， ∴BC⊥平面 PBD. (2)解 三棱锥 A－PBQ 的体积 VA－PBQ 与三棱锥 A－QBC 的体积相等， 而 VA－QBC ＝V Q－ABC ＝ VP－ABC ＝ VP－ABCD ＝ × ×1× × ＝ . 12 14 14 13 3 3 14 ∴三棱锥 A－PBQ 的体积 VA－PBQ ＝ . 14 20．(1 2 分 )已 知 椭 圆 C1： ＋ ＝ 1(ab0)和 椭 圆 C2： ＋ y2＝ 1 的 离 心 率 相 同 ， 且 点 ( ， 1)在 x2a2 y2b2 x22 2 椭圆 C1 上． (1)求椭圆 C1 的方程； (2)设 P 为椭圆 C2 上一点，过点 P 作直线交椭圆 C1 于 A，C 两点，且 P 恰为弦 AC 的中点， 则 当 点 P 变 化 时 ， 试 问 △ AOC 的 面 积 是 否 为 常 数 ， 若 是 ， 请 求 出 此 常 数 ， 若 不 是 ， 请 说 明 理 由 ． 解 (1)由题知， ＋ ＝1，且 ＝ ，即 a2＝4，b 2＝2， 2a2 1b2 ca 22 椭圆 C1 的方程为 ＋ ＝1. x24 y22 (2)是． ①当直线 AC 的斜率不存在时，必有 P(± ，0)，此时| AC|＝2，S △AOC ＝ .2 2 ②当直线 AC 的斜率存在时，设其斜率为 k，点 P(x0，y 0)，则 AC：y－y 0＝k(x－x 0)，直线 AC 与椭圆 C1 联立，得(1＋2 k2)x2＋4k( y0－kx 0)x＋2(y 0－kx 0)2－4＝0，设 A(x1，y 1)，C(x 2，y 2)， 则 x0＝ ＝－ ，即 x0＝－2ky 0， x1＋ x22 2ky0－ kx01＋ 2k2 又 x ＋2y ＝2，∴y ＝ ，20 20 20 11＋ 2k2 S△AOC ＝ × × · 12 |y0－ kx0|1＋ k2 1＋ k2 16k2y0－ kx02－ 41＋ 2k2[2y0－ kx02－ 4]1＋ 2k2 ＝ 2 |y0－ kx0| 21＋ 2k2－ y0－ kx021＋ 2k2 ＝ 2 1＋ 2k2|y0| 21＋ 2k2－ 1＋ 2k22y201＋ 2k2 ＝ |y0| ＝ .2 1＋ 2k2 2 综上，△AOC 的面积为常数 .2 21．(12 分) 已知函数 f(x)＝ln x＋ax，a∈R . (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若函数 f(x)的两个零点为 x1，x 2，且 ≥e 2，求证：( x1－x 2)f′(x 1＋x 2) . x2x1 65 (1)解 函数 f(x)＝ln x ＋ax ，a∈R 的定义域为{x|x 0}，f ′(x) ＝ ＋a， 1x ①当 a≥0 时，f′(x )0，∴f( x)在(0，＋∞) 上单调递增； ②当 a0,0－ ，∴f(x)在 上单调递减． 1x 1a (－ 1a，＋ ∞ ) (2)证明 ∵ln x 1＋ax 1＝0，ln x 2＋ax 2＝0， ∴ln x 2－ln x 1＝a(x 1－x 2)， (x1－x 2)f′(x 1＋x 2)＝(x 1－x 2)· ＝ ＋a( x1－x 2)( 1x1＋ x2＋ a) x1－ x2x1＋ x2 ＝ ＋ln ＝ ＋ln ， x1－ x2x1＋ x2 x2x1 1－ x2x1 1＋ x2x1 x2x1 令 ＝t(t≥e 2)，令 φ(t)＝ ＋ln t，则 φ′( t)＝ 0， x2x1 1－ t1＋ t t2＋ 11＋ t2t ∴φ(t)在[e 2，＋∞)上单调递增，φ(t)≥φ(e 2)＝1＋ 1＋ ＝ . 2e2＋ 1 232＋ 1 65 请在第 22～23 题中任选一题作答． 22．(10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝ ，直线 l 的参数方程是Error! (t 为参数， 4cos θ1－ cos2θ 0≤α0)，且 f(x－2)≥0 的解集为[－3，－1]． (1)求 m 的值； (2)若 a，b，c 都是正实数，且 ＋ ＋ ＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. 1a 12b 13c (1)解 依题意 f(x－2)＝m－| x＋2|≥0，即|x ＋2|≤m ⇔－m－2≤x≤－2＋m， ∴m＝1. (2)证明 ∵ ＋ ＋ ＝1(a，b，c0)， 1a 12b 13c ∴a＋2b＋3c＝( a＋2b＋3c) ( 1a＋ 12b＋ 13c) ＝3＋ ＋ ＋ ≥9，( a2b＋ 2ba) (a3c＋ 3ca) (2b3c＋ 3c2b) 当且仅当 a＝2b＝3c，即 a＝3，b＝ ，c＝1 时取等号． 32