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1-1工程数学行列式与矩阵.ppt

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1-1工程数学行列式与矩阵.ppt

第一章 行列式与矩阵,行列式是代数学中一个重要的工具,利用它可以用来判断一个n阶矩阵是否可逆;可以导出一个矩阵的逆矩阵公式以及著名的克拉姆法则。这一章我们先给出二、三阶行列式的定义,在此基础上归纳出一般n阶行列式的定义,然后讨论行列式的基本性质及其应用。,1.1 行列式及其性质,在数学发展史上,行列式是通过解线性方程组的求解而引出的,以二元线性方程组,的求解为例,为了消去未知数x2 ,两式分别乘以,定义1,(),(-),,,,,2.1式中横写的叫行,竖写的叫列,其中的数称为行列式的元素 如 为二阶行列式的第一行第二列的元素.,二阶行列式的运算规则,定义2,三阶行列式有3行3列,32个元素,其右端的算式由3个项组成,其中每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,所有乘积 项前所带的符号为正负号各半.即各为 项,与二阶行列式相似,它可以由一个很简单的规则来说明,这就是三阶行列式的对角线法则,即如下所示,实对角线上三个元素之乘积前冠以正号,虚对角线上三个元素之乘积前冠以负号,再把这些乘积加起来,就得到1.2式.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-,-,-,1.3,上述三阶行列式的值,也可以表示为,我们来分析一下1.4式首先1.4式右端的三项是D3中第一行的三个元素 分别乘一个二阶行列式,而使乘的二阶行列式是划去该元素所在的行与所在的列所组成;其次,每一项之前都要乘以 ,1和j正好是 的行标和列标.,按照这一规律,我们可以用三阶行列式定义出四阶行列式.以此类推,我们可以给出n阶行列式的定义.,定义3,这种利用低阶行列式逐次地给出高一阶行列式的定义的方法,称为递归推定义法,定义4,为了简化上述定义中的展开式的书写,我们引入代数余子式的概念.,定义5,称 的代数余子式,由上述定义5,1.5式可以表达为,解,一般地,按照行列式的递推归定义来计算n阶行列式,通常是很繁琐的.因此我们有必要来研究行列式的性质,利用这一些性质可使行列式的计算简化.,行列式的性质,记,性质 1,行列式与它的转置行列式相等,意义 ,行列式中的行与列具有同等的地位;,.例如,,,,证明思想 ,仍然是从定义出发证,祥略。,如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.,为什么,.例如,性质 2,将行列式的两行列对调,行列式变号,推论,性质 3展开法则,行列式等于它的任意一行列中所,有元素与它们对应的代数余子式乘积之和.即,推论,行列式中任一行列中元素与另一行列对应元素的,代数余子式乘积之和等于零,即,证由性质3按第j行展开得到,,,ri,rj,性质 4,行列式的某一行列元素的公因子可提到行列式外面,即,,例如,证,推论,行列式的某一行列元素的全为零,则此行列式为零.,行列式的某两行列对应元素成比例,则此行列式为零.,推论,性质5,若行列式的第i行列元素的每一个元素都可以表示为两数的和,则该行列式可以表示为两行列式之和,即,,这并不是唯一的分拆方法,,性质6,把行列式的第j行列元素的k倍加到第i行列的对应元素上,行列式的值不变.,例 计算行列式,,运算符号 ,交换行列式两行(列),记作,行列式第i行(列)乘以数k,记作,以数k乘行列式第i行(列)加到第j行(列)上,记作,例 计算行列式,解 第二行乘以-1加到其它各行上去可得,行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,计算行列式常用方法1利用定义;2利用性质把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值.,小结,行列式的6个性质,

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